Curva logistica

Curva logistica

Questa curva, ormai famosa, è una bella immagine della possibilità che il caos spunti fuori anche da un'equazione semplice, forse la più semplice di secondo grado che si possa immaginare.

xn+1=rxn(1-xn)

Questa equazione può simulare lo sviluppo di una popolazione, ad esempio di insetti. Gli insetti dovrebbero vivere una sola stagione, deponendo le uova prima di morire.

Data una popolazione iniziale x0, la popolazione dopo un periodo di tempo unitario si trova moltiplicando x0 per 1-x0 e quindi per r.
La presenza del fattore (1-xn) ha questo scopo: quando la popolazione è piuttosto limitata il suo valore è prossimo ad 1, e quindi lo sviluppo della popolazione segue una legge "quasi" esponenziale; quando però la popolazione tende a crescere troppo, essa viene frenata e quindi tende ad attestarsi su un valore stabile.
L'idea non è lontana dalla realtà, almeno per alcuni casi molto semplici: è chiaro che in caso di sovrapopolazione il cibo comincia a scarseggiare e quindi non è pensabile un'espansione senza limiti.
Ora ci domandiamo: se una popolazione segue uno sviluppo di questo tipo, raggiungerà una posizione di equilibrio, cioè avrà un attrattore?
Per rispondere a questa domanda, basta risolvere una semplice equazione:

xn=rxn(1-xn)

Questo significa che la nostra popolazione, al termine di ogni periodo, rimarrà invariata.
Svolgendo dei semplici calcoli, troviamo: xn=1-1/r

Se ad esempio poniamo r=2 la formula trovata ci dice che la popolazione si assesterà su una posizione di equilibrio di circa il 50% (1-1/2=1/2).
Visto che per x = 1/2 la popolazione al tempo successivo resta sempre 1/2, chiameremo questo valore un'attrattore per la popolazione.


Se partiamo da un qualunque valore iniziale della popolazione, ad esempio, come nell'immagine, dal valore iniziale x=0.2, arriviamo sempre alla stessa situazione di equilibrio.

Esattamente si trova: x0=0.2
x1=2*0.2*(1-0.2)=0.32
x3=2*0.32*(1-0.32)=0.4352
x4=2*0.32*(1-0.32)=0.4916019
....
x7= 0.5

Il metodo usato per visualizzare il risultato è il metodo degli attrattori, visualizzato nella figura a lato. Per capire meglio come viene a costruirsi la "scaletta" (detta diagramma web), seguiamo le istruzioni in tabella:

 

METODO ANALITICO

METODO GRAFICO

Si dà un valore alla variabile indipendente (che possiamo chiamare x), e si trova il corrispondente valore della variabile dipendente (che possiamo chiamare y ) Da un punto (detto seme) si traccia una parallela all'asse y fino ad incontrare la curva: l'ordinata del punto di intersezione è il valore della variabile dipendente.
Volendo un sistema di "funzioni iterate, si attribuisce alla x il valore appena trovato per y.

Si sfrutta la proprietà che ha la bisettrice del primo e terzo quadrante: in ogni suo punto l'ascissa è uguale all'ordinata. Dal punto di intersezione si traccia la parallela all'asse x fino ad incontrare la bisettrice del primo quadrante: si ottiene così facilmente l'ascissa del nuovo punto.

Sostituire tale valore alla variabile x e trovare il nuovo valore di y. Dal punto di intersezione si traccia la parallela all'asse y fino ad incontrare la curva: non è infatti necessario prolungare la retta fino all'asse x , visto che ormai è stato trovato il valore da cui ripartire.
Se le differenze fra due valori consecutivi trovati diminuiscono "sempre di più" si arriva infine ad un attrattore.

 

Ecco come vanno le cose nel caso in cui il seme sia x=0.6, sempre per r=2. Come si vede in breve tempo i valori ottenuti si approssimano anche in questo caso all'attrattore x=0.5

Quanto detto vale per ogni valore di x maggiore di zero e minore di uno.
Se invece il valore iniziale della popolazione è nullo questa resta stabilmente a zero (anche l'estinzione è una posizione di equilibrio!)
Infine, se il livello iniziale della popolazione supera 1, otteniamo immediatamente un valore negativo (infatti 1-x <0 ), e quindi una situazione per noi assurda.
Diremo quindi che l'intervallo [0,1] è il bacino d'attrazione.

Coerentemente con quanto trovato, possiamo vedere che, ad esempio, se r = 2.5, l'equilibrio si raggiunge ad un valore x = 3/5.

Tutto chiaro?
Sembrerebbe di sì, in fondo il tutto appare banale ed anche noioso, ma non sempre le cose sono così semplici come appaiono a prima vista.

Poniamo infatti r=3.2 e restiamo a dir poco stupiti: ora gli attrattori sono due! I valori oscillano senza sosta fra 0.51 e 0.80.
La stessa cosa succede se poniamo r=3 .In questo caso gli attrattori sono 0.65 e 0.68. Se invece r<3 di attrattori ne troviamo uno solo.

"Period Trhee Implies Chaos"
così descrisse questo stupefacente fenomeno James Yorke. (Il link è al sito dello scienzato: in inglese)

E infatti le sorprese non sono finite.
Studiando globalmente l'andamento del fenomeno in esame, otteniamo proprio la curva logistica.
Per disegnarne il grafico, basta porre sull'asse orizzontale r, e sull'asse verticale il valore dell'attrattore, o degli attrattori, corrispondenti.
All'inizio, mentre r cresce, anche il valore su cui si assesta la popolazione cresce, ma rimane prossimo al valore precedente. Quando r raggiunge il valore 3 si ha una prima biforcazione, quando r raggiunge il valore 3.46 ogno ramo della curva si spezza ancora in due, e così via fino a quando non si arriva ad un numero "infinito" di attrattori.
Questo ci dà l'idea dell'imprevedibilità: come potremo prevedere cosa accade? Ogni previsione può essere smentita dagli eventi, e tutto a partire dalla stessa, semplice equazione che inizialmente sembrava così innocua!

Se poi poniamo r=4 ci troviamo di fronte al vero e proprio effetto farfalla. Non solo gli attrattori riempiono tutto lo schermo ma l'andamento della popolazione dipende in modo molto sensibile dalla popolazione iniziale.

Perché abbiamo inserito la curva logistica nella sezione frattali? Perché presenta le loro stesse caratteristiche.

SCARICA IL PROGRAMMA CHE STUDIA LA CURVA LOGISTICA


 

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